Danh sách bài tập

Bài 1-3 được giao bởi TS. Lê Vĩ

(Hầu hết mình làm ra giấy, khi nào rảnh sẽ update sau)

Bài tập tổng hợp

Bài 1 (Buổi tập bắn của xạ thủ)

Một xạ thủ có tỉ lệ bắn trúng mục tiêu là 85%, buổi tập bắn xạ thủ đem theo 5 viên đạn. Nếu như bắn trúng mục tiêu 3 lần liên tiếp, buổi tập bắn sẽ dừng lại ngay, nếu không, xạ thủ tiếp tục bắn cho tới khi hết đạn. Gọi $ X $ là số đạn còn lại sau khi kết thúc buổi tập bắn.

• a, Cho biết hàm phân bố của $ X $.
• b, Tính $ E[X] $ (kỳ vọng) và $ D[X] $ (phương sai).

Giải

a, Ta có 2 trường hợp mà xạ thủ sẽ có số đạn còn lại là $ X > 0 $:

• [Trúng, Trúng, Trúng, Dư, Dư] -> $ X = 2 $.
• [Trượt, Trúng, Trúng, Trúng, Dư] -> $ X = 1 $.

Các trường hợp còn lại là $ X = 0 $.

• Với $ X = 2 $, ta cần 3 lần liên tiếp bắn trúng, vậy $ P(X=2) = 0.85^3 = 0.6141 $.
• Với $ X = 1 $, xạ thủ trượt phát đầu, rồi hattrick, vậy $ P(X=1) = (1 - 0.85) \cdot 0.85^3 = 0.092 $.
• Với $ X = 0 $, ta có $ P(X=0) = 1 - (P(X=2) + P(X=1)) = 0.2939 $.

b,

• $ E[X] = \sum x_i P(X=x_i) = 2 \cdot P(X=2) + 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0) = 1.3202 $
• $ D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = (2^2 \cdot P(X=2) + 1^2 \cdot P(X=1) + 0^2 \cdot P(X=0)) - 1.3202^2 = 0.805 $

Bài 2 (Chiếc xe của ông A)

Gọi tuổi thọ trung bình của một chiếc xe là $ X = 6 $ năm. Ông A có chiếc xe đã và đang sử dụng tốt được 5 năm và ông dự định tiếp tục sử dụng trong năm 5 tiếp theo. Tính xác suất chiếc xe của ông A gặp lỗi trong 5 năm tới?

Giải

Ta mô hình hóa bằng phân phối mũ với $ E[T] = 6 \rightarrow \lambda = 1/6 $. Biết chiếc xa đã sử dụng được 5 năm, ta cần biết trong 5 năm tới xác suất xe gặp lỗi là bao nhiêu:

\[P(T \leq 10 \mid T > 5) = P(T \leq 5) = 1 - P(T > 5) = 1 - e^{-5/6} = 0.565\]

Vậy tỉ lệ xe ông A hỏng trong 5 năm tới là khoảng 56%

Bài 3 (Chiều cao trung bình trai bản)

Trong một bản làng, chiều cao trung bình của các thanh niên nam được đại diện bởi phân bố chuẩn:

\[X \sim \mathcal{N}(175, 16) (\text{cm})\]

Hãy tính:

• a, $ P(170 \leq X \leq 177) $.
• b, $ h $ sao cho $ P(X < h)=0.33 $.
• c, $ a, b $ sao cho $ P(a \leq X \leq b) = 0.95 $.

Giải

Ta đưa phân bố chuẩn về phân bố chuẩn tắc và có $ Z = \frac{X - 175}{4} $:

a, Tra bảng phân phối để có:

\[P(\frac{170 - 175}{4} \leq Z \leq \frac{177-175}{4}) = P(-\frac{5}{4} \leq Z \leq \frac{1}{2})\]

Tra được giá trị $ 0.5859 $.

b, Để $ P(X < h) = 0.33 $, ta có:

\[P(Z < z) = 0.33 \\ h = 175 + z \cdot 4\]

Ta có thể tra bảng CDF của phân phối chuẩn tắc để tìm $ P(Z < z) $ (kết quả 174.24).

c, Ta tiếp tục đưa $ P(a \leq X \leq b) $ về dạng chuẩn tắc, sau đó ta có thể tra bảng hoặc sử dụng quy luật 68-95-99.7 của phân bố chuẩn. Cụ thể:

• Ta xét $ P(-z^* \leq Z \leq z^*) = 0.95 $.
• Suy ra $ P(Z \leq z^*) = 0.95 + (1- 0.95)/2 = 0.975 $.
• Tra bảng CDF ta được giá trị $ z^* = 1.96 $.

\[a = 175 - 1.96 \cdot 4 = 167.16 \\ b = 175 + 1.96 \cdot 4 = 182.84\]

Bài 4 (Thám tử và vụ án bí ẩn)

Một thám tử đang điều tra một vụ án mạng và có hai nghi phạm chính:

• Người giúp việc ($ A_1 $) với xác suất ban đầu là 40%.
• Người hàng xóm ($ A_2 $) với xác suất ban đầu là 60%.

Bằng chứng quan trọng là một dấu vân tay tìm thấy tại hiện trường. Khả năng tìm thấy dấu vân tay nếu nghi phạm là:

• Người giúp việc: 90% khả năng để lại dấu vân tay.
• Người hàng xóm: 50% khả năng để lại dấu vân tay.

Câu hỏi:

• a, Sau khi phát hiện dấu vân tay, tính xác suất thực sự rằng người giúp việc là hung thủ?
• b, Xác suất thực sự rằng người hàng xóm là hung thủ?

Giải

Gọi $B$ là sự kiện để lại dấu vân tay. Cho trước:

\[P(A_1) = 0.4 \\ P(A_2) = 0.6 \\ P(B \mid A_1) = 0.9 \\ P(B \mid A_2) = 0.5\]

a, Ta cần tính $ P(A_1 \mid B) $:

Có $ P(B) = P(B \mid A_1)P(A_1) + P(B \mid A_2)P(A_2) = 0.66 $

\[P(A_1 \mid B) = \frac{P(B \mid A_1)P(A_1)}{P(B)} = \frac{6}{11}\]

b,

\[P(A_2 \mid B) = \frac{P(B \mid A_2)P(A_2)}{P(B)} = \frac{5}{11}\]

Bài 5 (Bệnh hiếm và xét nghiệm y tế)

Một bệnh hiếm gặp chỉ ảnh hưởng đến 1 trong 1.000 người trong dân số. Một xét nghiệm y tế được thiết kế để phát hiện bệnh này có:

• Độ nhạy (Sensitivity): Nếu một người có bệnh, xét nghiệm sẽ dương tính với xác suất 99%.
• Độ đặc hiệu (Specificity): Nếu một người không có bệnh, xét nghiệm vẫn có thể cho kết quả dương tính sai với xác suất 5%.

Một người bất kỳ đi xét nghiệm và có kết quả dương tính. Hỏi xác suất thực sự rằng người đó thực sự mắc bệnh là bao nhiêu?

Giải

Ta đặt các sự kiện:

• $ P(A) = 1/1000 $ : Có bệnh.
• $ P(B \mid A) = 0.99 $: Tỉ lệ dương tính nếu biết có bệnh.
• $ P(B \mid \neg A) = 0.05 $: Tỉ lệ dương tính dù biết không có bệnh.

Ta cần tính $ P(A \mid B) $:

Có $ P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid \neg A)(1-P(A)) = 0.05094 $.

\[P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)} \approx 0.0194\]

Bài 6 (Thợ sửa máy và tín hiệu lỗi)

Một nhà máy có hai loại máy móc, loại A chiếm 70% tổng số máy, loại B chiếm 30%. Khi gặp sự cố, hai loại máy có tỷ lệ phát tín hiệu lỗi khác nhau:

• Máy loại A có xác suất 10% để phát tín hiệu lỗi.
• Máy loại B có xác suất 25% để phát tín hiệu lỗi.

Một máy vừa phát tín hiệu lỗi. Hỏi xác suất thực sự rằng đó là máy loại B?

Giải

Đặt sự kiện gặp lỗi là $ E $:

\[P(A) = 0.7 P(B) = 0.3 P(E \mid A) = 0.1 P(E \mid B) = 0.25\]

Có $ P(E) = P(E \mid A)P(A) + P(E \mid B)P(B) = 0.145 $.

\[P(B \mid E) = \frac{P(E \mid B)P(B)}{P(E)} = \frac{15}{29}\]

Bài 7 (Cuộc gọi đến tổng đài hỗ trợ)

Một tổng đài chăm sóc khách hàng nhận được trung bình 12 cuộc gọi mỗi giờ. Giả sử số cuộc gọi đến tuân theo phân bố Poisson.

Câu hỏi:

• a, Tính xác suất rằng trong một giờ có đúng 15 cuộc gọi đến tổng đài.
• b, Tính xác suất rằng trong một khoảng 30 phút, tổng đài nhận được nhiều hơn 5 cuộc gọi.

Giải

a, Có $ \lambda = 12 $:

\[P(X = 15) = \frac{12^{15} e^{-12}}{15!} \approx 0.07\]

b, Với $ t = 30 $ (phút), $ \lambda = 6 $

\[P(X \geq 5) = 1 - P(X \leq 4) = \sum_{k=0}^4 \frac{6^k e^{-6}}{k!} \approx 0.554\]

Bài 8 (Lỗi trong dây chuyền sản xuất)

Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử phát hiện rằng trung bình có 3 lỗi xuất hiện trên mỗi 100 mét dây chuyền sản xuất. Giả sử số lỗi tuân theo phân bố Poisson.

Câu hỏi:

• a, Xác suất rằng một đoạn 50 mét có đúng 2 lỗi.
• b, Xác suất rằng một đoạn 200 mét có ít nhất 7 lỗi.

Giải

a, $ \lambda_{50m} = 1.5 $

\[P(X = 2) = \frac{1.5^{2} e^{-1.5}}{2!} \approx 0.25\]

b, $ \lambda_{200m} = 6 $

\[P(X \geq 7) = 1 - P(X \leq 6) = \sum_{k=0}^6 \frac{6^k e^{-6}}{k!} \approx 0.394\]

Bài tập đề thi

Đề 1

Bài 1

Nhóm lớp có 8 nam, 7 nữ. Chọn một nhóm $n$ người.

• a, Tính xác suất trong 3 người có đúng 1 nam hoặc nữ.
• b, Biết trong 3 người có ít nhất 1 nữ, tính xác suất có ít nhất 1 nam.

Giải

\[(a) \qquad P(M = 1 \cap F = 1) = \frac{\binom{8}{2} \cdot 7}{\binom{15}{3}} + \frac{\binom{7}{2} \cdot 8}{\binom{15}{3}} = 0.8\] \[(b) \qquad P(F \geq 1) = 1 - P(F \leq 0) = 1 - \frac{\binom{8}{3}}{\binom{15}{3}} = \frac{57}{65} \\[10pt] P(M \geq 1 \mid F \geq 1) = \frac{P(M \geq 1 \cap F \geq 1)}{P(F \geq 1)} = \frac{52}{57}\]

Bài 2

Trong 1 lô hàng có 15 sản phẩm, trong đó có 8 hàng loại A và 7 hàng loại B. Tỉ lệ lỗi của sản phẩm loại A, B lần lượt là 0.1%, 0.4%.

Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong lô hàng thì có đúng 1 sản phẩm bị lỗi, tính xác suất 2 sản phẩm được chọn là hàng loại A.

Giải

\[P(A) = 8/15 \\ P(B) = 7/15 \\ P(E \mid A) = 0.001 \\ P(E \mid B) = 0.004\]

• Đối với $ P(1E) $, ta cần phân tích tất cả các trường hợp ĐÃ chọn 2 mà có 1 sản phẩm lỗi.
• Với trường hợp AA: $ P(1E \mid AA) = 2 \cdot 0.001 \cdot 0.999 \approx 0.001998 $.
• Với trường hợp BB: $ P(1E \mid BB) = 2 \cdot 0.004 \cdot 0.996 \approx 0.007968 $.
• Với trường hợp AB: $ P(1E \mid AB) = 0.001 \cdot 0.996 + 0.004 \cdot 0.999 \approx 0.004992 $.

\[P(1E) = \frac{\binom{8}{2}}{\binom{15}{2}} \cdot P(1E \mid AA) + \frac{\binom{7}{2}}{\binom{15}{2}} \cdot P(1E \mid BB) + \frac{8 \cdot 7}{\binom{15}{2}} \cdot > P(1E \mid AB) \approx 0.0047893\] \[P(2A \mid 1E) = \frac{P(2A \cap 1E)}{P(1E)} = \frac{\frac{\binom{8}{2}}{\binom{15}{2}} \cdot P(1E \mid AA)} {P(1E)} \approx 0.1113\]

Bài 3

Trong một hộp có 10 sản phẩm và 3 trong số đó bị lỗi. Từng lượt chọn ngẫu nhiên từng sản phẩm cho tới khi chọn được sản phẩm không lỗi thì ngưng. Gọi $X$ là số sản phẩm đã chọn. Tính phân bố xác suất của $X, E[X], D[X] $.

Giải

X	1	2	3	4
P	0.7	0.21	0.063	0.0189

\[E[X] = \sum_{i=1}^4 x \cdot P(X = x) \\[7pt] D[X] = E[X^2] - E[X]^2\]

Bài 4

$ X $ có mật độ xác suất:

\[f(x) = A \cdot e^{-(1-x + \frac{x^2}{4})}, x \in \mathbb{R}\]

• a, Dùng phép biến đổi trong tích phân để tính $ A $ và chứng minh $ X $ theo phân phối chuẩn.
• b, Tính $P(X < 3)$.

Giải

\[f(x) = A \cdot e^{-\frac{(x-2)^2}{4}}\]

• Hiện tại thì để giải thuần tích phân thì mình chưa đủ khả năng, tuy nhiên $ A = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} $ thì ta có phân bố chuẩn sao cho $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 $. Có $ \mu = 2 $ và $ \sigma = \sqrt{2} $.

\[P(X < 3) = \int_{-\infty}^{3} f(x) dx \approx 0.76024\]

Đề 2 - Đáp án đề 2

Bài 1

Xét nghiệm máu cho khả năng phát hiện đến 99% một loại bệnh (tức một người mắc bệnh khi được xét nghiệm máu thì ra kết quả dương tính với xác suất là 0.99). Tuy nhiên xét nghiệm cũng cho những kết quả dương tính giả cho 2% những người khỏe mạnh (tức là, khi một người khỏe mạnh được tiến hành thí nghiệm thì xác suất để ra kết quả dương tính là 0.02). Cho biết 1% dân số thực sự mắc loại bệnh này. Một người xét nghiệm 3 lần thấy 2 lần có kết quả dương tính, một lần âm tính. Hỏi rằng xác suất để anh ta mắc bệnh là bao nhiêu?

Giải

Ta đặt các sự kiện:

• $ P(A) = 0.01 $ : Có bệnh. ($ P(\neg A) = 0.99 $)
• $ P(+ \mid A) = 0.99 $: Tỉ lệ dương tính nếu biết có bệnh. ($ P(- \mid A) = 0.01 $)
• $ P(+ \mid \neg A) = 0.02 $: Tỉ lệ dương tính dù biết không có bệnh. ($ P(- \mid \neg A) = 0.98 $)
• Gọi $ R $ là biến cố “2 dương tính, 1 âm tính”:

\[P(R \mid A) = \binom{3}{2} (0.99)^2(0.01) = 0.029403 \\[7pt] P(R \mid \neg A) = \binom{3}{2} (0.02)^2(0.98) \approx 1.176 \cdot 10^{-3} \\[7pt] P(A \mid R) = \frac{P(R \mid A)P(A)}{P(R)} = \frac{99}{491}\]

Bài 2

Một cửa hàng có 3 chiếc xe tải cho thuê. Biết rằng số khách có nhu cầu thuê xe trong 1 ngày của cửa hàng là một ĐLNN $X$ tuân theo phân bố Poisson với $E[X] = 2$. Tính số xe được cho thuê trung bình trong 1 ngày của cửa hàng (giả thuyết rằng mỗi khách chỉ thuê 1 xe).

Giải

Gọi số xe thực sự được cho thuê trong một ngày là $ Y $. Vì cửa hàng chỉ có tối đa 3 xe, nên:

\[Y = \min(X, 3)\]

với $ X \sim \text{Poisson}(\lambda = 2) $.

Ta cần tính kỳ vọng $ E[Y] $, theo định nghĩa:

\[E[Y] = \sum_{y=0}^{3} y P(Y = y).\]

Do $ Y = \min(X,3) $, ta có:

• $ P(Y = 0) = P(X = 0) = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2} $.
• $ P(Y = 1) = P(X = 1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2} $.
• $ P(Y = 2) = P(X = 2) = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = 2e^{-2} $.
• $ P(Y = 3) = P(X \geq 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) $.

\[P(Y = 3) = 1 - (e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2}) = 1 - 5e^{-2} \\[7pt] E[Y] = 0 \cdot e^{-2} + 1 \cdot (2e^{-2}) + 2 \cdot (2e^{-2}) + 3 \cdot (1 - 5e^{-2}) \\[7pt] E[Y] = 2e^{-2} + 4e^{-2} + 3 - 15e^{-2} \\[7pt] E[Y] = 3 - 9e^{-2}\]

Sử dụng giá trị $ e^{-2} \approx 0.1353 $:

\[E[Y] \approx 3 - 9 \times 0.1353 = 3 - 1.218 = 1.782.\]

Bài 3

Cho $ X $ là một ĐLNN liên tục tuân theo phân bố chuẩn với $ \mu = 1, \sigma^2 = 4 $.

• a, Tìm $ a $ sao cho $ P(X > a) = 0.75 $.
• b, Tính $ P(0 \leq X \leq 3) $.
• c, Tiến hành 5 quan sát độc lập về $ X $. Gọi $ Y $ là số lần $ X $ nhận ra giá trị trong đoạn $[0,3]$. Tính $E[Y]$.

Giải

\[f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} e^{ \frac{(x - 1)^2}{8} }\] \[(a) \qquad P(X > a) = 1 - P(X \leq a) = 0.75 \rightarrow \int_{-\infty}^{a} f(x) dx = 0.75 \rightarrow a \approx \frac{47}{20}\] \[(b) \qquad P(0 \leq X \leq 3) = \int_{0}^{3} f(x) dx = 0.5328\] \[(c) \qquad Y \sim \text{Binom}(5, 0.5328) \rightarrow E[Y] = 5 \cdot 0.5328 \approx 2.664\]

Đề 3

Bài 1

Từ một hộp đựng 11 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II, người ta lấy ra ngẫu nhiên hai sản phẩm.

• a. Tính xác suất lấy được hai sản phẩm khác loại.
• b. Sau khi lấy ra hai sản phẩm, từ 9 sản phẩm còn lại lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm loại I.

Giải

\[(a) \qquad P(I, II) = 1 - P(2I) - P(2II) = 1 - \frac{\binom{8}{2}}{\binom{11}{2}} - \frac{\binom{3}{2}}{\binom{11}{2}} = \frac{24}{55}\]

b, Xét 3 trường hợp:

• TH lấy 2 loại I -> còn lại 6 I, 3 II. -> $ P(2I) = 28/55 $.
• TH lấy có I và II -> còn lại 7 I, 2 II. -> $ P(I, II) = 24/55 $.
• TH lấy 2 loại II -> còn lại 8 I, 1 II. -> $ P(2II) = 3/55 $.

\[P(I \mid \text{Đã chọn 2}) = P(2I) \cdot 6/9 + P(I, II) \cdot 7/9 + P(2II) \cdot 8/9 = 8/11\]

Bài 2

Cho 2 ĐLNN $ X $ và $ Y $ có bảng phân bố xác suất đồng thời như sau:

X \ Y	-1	1	2
-1	2/16	2/16	2/16
0	1/16	2/16	2/16
1	2/16	2/16	1/16

• a, Tìm $ E[X] $, $ E[Y] $, $ \text{cov}(X, Y) $ và hệ số tương quan.
• b, $ X $ và $ Y $ có độc lập hay không?

Giải

Bài 3

Cho $ X $ là ĐLNN có hàm mật độ:

\[f(x) = \begin{cases} \frac{kx}{4} & 0 \le x \le 2, \\ k^2 \left( 1 - \frac{x}{4} \right) & 2 < x \le 4, \\ 0 & \text{ngược lại}. \end{cases}\]

• a, Tìm hằng số $ k $.
• b, Tính $ P(1 < X < 5) $.
• c, Tìm kỳ vọng và phương sai của $ X $.

Giải

Đề 4

Bài 1

Thông thường sẽ luôn có hành khách đã mua vé máy bay nhưng không kịp ra sân bay (tắc đường, bận đột xuất, vv). Do đó, chiến lược kinh doanh của mọi hãng hàng không là sẽ bán ra số vé nhiều hơn số ghế trên mỗi chuyến bay. Giả sử rằng một hãng hàng không bán ra 125 vé cho chuyến bay có 120 ghế và xác suất để một hành khách không kịp ra sân bay là 0.10.

• a, Tìm xác suất để mọi hành khách đã đến sân bay là có thể lên được máy bay.
• b, Tìm xác suất để chuyến bay cất cánh với đủ 120 hành khách.

Giải

Bài 2

Cho $ X $ là biến ngẫu nhiên có thỏa mãn phân phối chuẩn với $ \mu = 0, \sigma^2 = 3 $. Tìm số $ a $ thỏa mãn $ P(-a < X < a) = 0.95 $.

Giải

Bài 3

Cho $ X $ là một biến ngẫu nhiên rời rạc với phân bố mũ với $ \mu = 10 $. Hãy so sánh $ P(X<5) $ và $ P(X<10 \mid X>5) $.

Giải

Bài 4

Cho $ X $ là một ĐLNN rời rạc với phân bố xác suất:

\[P(X=x) = \left(\frac{8}{7} \right)\left(\frac{1}{2} \right)^x \quad, \quad x = 1,2,3\]

Tìm kỳ vọng và độ lệch chuẩn của $ X $.

Giải

Bài 5

Để ước lượng lực đấm trung bình của thanh niên tỉnh Bình Dương (độ tuổi từ 16 đến 30), người ta chọn ngẫu nhiên 60 người thì thấy lực đấm trung bình là 230kg và độ lệch chuẩn là 25kg. Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho lực đấm trung bình của tất cả thanh niên tỉnh Bình Dương. Cho $P(Z < 1.65) = 0.95$ và $P(Z < 1.96) = 0.975$.

Giải

Bài tập bổ sung

Bài tập Chương I: Biến cố và xác suất của biến cố

Bài 1 (Xúc xắc đặc biệt)

Một chiếc xúc xắc đặc biệt có 4 mặt, mỗi mặt ghi một số từ 1 đến 4. Ta gieo xúc xắc hai lần và ghi lại kết quả.

• a, Xác định không gian mẫu $ \Omega $ của phép thử.
• b, Gọi $ A $ là biến cố “tổng hai số bằng 5”. Viết tập hợp $ A $.
• c, Gọi $ B $ là biến cố “có ít nhất một lần ra số 3”. Viết tập hợp $ B $.

Bài 2 (Chọn học sinh ngẫu nhiên)

Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 12 học sinh biết chơi cờ vua và 9 học sinh biết chơi bóng rổ. Có 5 học sinh biết chơi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh.

• a, Xác định các biến cố: $ A $ – “học sinh biết chơi cờ vua”, $ B $ – “học sinh biết chơi bóng rổ”.
• b, Viết tập hợp $ A \cup B $ và $ A \cap B $, tính số phần tử của chúng.
• c, Xác định biến cố “học sinh không biết chơi cả hai môn” và viết dưới dạng tập hợp.

Bài 3 (Bốc bi trong hộp)

Một hộp có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi.

• a, Xác suất lấy được viên bi đỏ?
• b, Xác suất lấy được viên bi không phải màu đỏ?
• c, Xác suất lấy được viên bi xanh hoặc vàng?

Bài 4 (Kiểm tra hàng trong kho)

Một nhà kho chứa 100 kiện hàng, trong đó có 70 kiện đạt tiêu chuẩn và 30 kiện bị lỗi. Lấy ngẫu nhiên 2 kiện hàng.

• a, Xác suất cả hai kiện hàng đều đạt tiêu chuẩn?
• b, Xác suất ít nhất một kiện hàng bị lỗi?
• c, Xác suất đúng một kiện hàng bị lỗi?

Bài 5 (Tay súng tập bắn)

Một tay súng có xác suất bắn trúng mục tiêu là 0.7. Anh ta bắn 4 lần một cách độc lập.

• a, Xác suất bắn trúng đúng 3 lần?
• b, Xác suất bắn trúng ít nhất 2 lần?
• c, Xác suất bắn trượt ít nhất 1 lần?

Bài 6 (Nhân viên và giờ làm việc)

Một công ty có 60% nhân viên là nam và 40% là nữ. Thống kê cho thấy 80% nam nhân viên và 90% nữ nhân viên đến đúng giờ. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên và quan sát họ có đến đúng giờ hay không.

• a, Tính xác suất chọn được một nhân viên đến đúng giờ.
• b, Nếu biết nhân viên được chọn đến đúng giờ, xác suất nhân viên đó là nữ là bao nhiêu?

Bài 7 (Kết quả xét nghiệm)

Một bệnh viện sử dụng hai phòng xét nghiệm để kiểm tra bệnh nhân.

• Phòng A thực hiện 40% số xét nghiệm với độ chính xác 95%.
• Phòng B thực hiện 60% số xét nghiệm với độ chính xác 90%.

Một bệnh nhân nhận kết quả chính xác.

• a, Xác suất để kết quả đến từ phòng A?
• b, Xác suất để kết quả đến từ phòng B?

Bài 8 (Lỗi trong sản xuất)

Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất:

• Dây chuyền I sản xuất 70% sản phẩm, tỷ lệ lỗi là 2%.
• Dây chuyền II sản xuất 30% sản phẩm, tỷ lệ lỗi là 5%.

Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên và phát hiện bị lỗi.

• a, Xác suất sản phẩm đó đến từ dây chuyền I?
• b, Xác suất sản phẩm đó đến từ dây chuyền II?

Bài 9 (Sự cố mạng)

Một hệ thống mạng gặp sự cố trung bình 4 lần mỗi tháng. Giả sử số sự cố tuân theo một quy luật xác suất phù hợp.

• a, Xác suất rằng trong một tháng có đúng 5 sự cố?
• b, Xác suất rằng trong một tuần có ít nhất 1 sự cố?

Bài 10 (Giao thông giờ cao điểm)

Một giao lộ có trung bình 10 xe đi qua mỗi phút trong giờ cao điểm. Giả sử số xe đến tuân theo một quy luật xác suất phù hợp.

• a, Xác suất có đúng 8 xe đi qua trong một phút?
• b, Xác suất có nhiều hơn 12 xe đi qua trong một phút?

Bài tập Chương II: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Bài 1 (Xác suất và phân bố)

Một biến ngẫu nhiên $ X $ có hàm mật độ xác suất như sau:

\[f(x) = \begin{cases} c(3x^2 + 2x), & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\]

• a, Xác định hằng số $ c $.
• b, Tính xác suất $ P(0.2 \leq X \leq 0.8) $.
• c, Tìm hàm phân bố $ F(x) $.

Bài 2 (Tính kì vọng và phương sai)

Một biến ngẫu nhiên rời rạc $ X $ có bảng phân bố xác suất như sau:

$ X $	-2	0	3	5
$ P(X) $	0.2	0.3	0.4	0.1

• a, Tính kì vọng $ E[X] $.
• b, Tính phương sai $ D[X] $ và độ lệch chuẩn $ \sigma_X $.

Bài 3 (Hai biến ngẫu nhiên)

Hai biến ngẫu nhiên rời rạc $ X $ và $ Y $ có bảng phân bố xác suất chung như sau:

$ X \backslash Y $	1	2	3
1	0.2	0.1	0.1
2	0.1	0.3	0.2

• a, Tính $ P(X = 1) $ và $ P(Y = 2) $.
• b, Xác định $ E[X] $, $ E[Y] $.
• c, Tính hiệp phương sai và hệ số tương quan của $ X $ và $ Y $.

Bài 4 (Hàm của hai biến)

Gọi $ X $ và $ Y $ là hai biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ như sau:

\[f_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\] \[f_Y(y) = \begin{cases} 3(1 - y)^2, & 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\]

Đặt $ Z = X + Y $.

• a, Xác định hàm mật độ của $ Z $.
• b, Tính $ E[Z] $.
• c, Tính phương sai $ D[Z] $.

Bài 5 (Phân bố có điều kiện)

Một biến ngẫu nhiên liên tục $ X $ có hàm mật độ:

\[f(x, y) = \begin{cases} cxy, & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\]

• a, Xác định hằng số $ c $.
• b, Tìm phân bố có điều kiện $ f_{X \mid Y}(x \mid y) $.
• c, Tính kì vọng có điều kiện $ E[X \mid Y] $.

Bài 6 (Phân bố nhị thức trong trò chơi)

Một người chơi tung một đồng xu không cân bằng 10 lần, xác suất xuất hiện mặt ngửa là 0.6.

• a, Xác suất có đúng 6 lần xuất hiện mặt ngửa?
• b, Xác suất có ít nhất 4 lần xuất hiện mặt ngửa?
• c, Tính kì vọng và phương sai của số lần xuất hiện mặt ngửa.

Bài 7 (Sự cố trong hệ thống)

Một hệ thống gặp trung bình 3 sự cố mỗi tuần. Giả sử số sự cố xảy ra tuân theo một quy luật xác suất phù hợp.

• a, Xác suất hệ thống gặp đúng 4 sự cố trong một tuần?
• b, Xác suất hệ thống gặp ít nhất 1 sự cố trong một tuần?
• c, Xác suất hệ thống không gặp sự cố nào trong hai tuần liên tiếp?

Bài 8 (Khách hàng vào quán cà phê)

Một quán cà phê có trung bình 5 khách hàng ghé thăm mỗi giờ. Giả sử số lượng khách đến tuân theo một quy luật xác suất phù hợp.

• a, Xác suất rằng trong một giờ có đúng 7 khách?
• b, Xác suất rằng trong nửa giờ có nhiều hơn 3 khách?
• c, Xác suất rằng trong hai giờ có ít nhất 8 khách?

Bài 9 (Tín hiệu truyền qua kênh liên lạc)

Một kênh truyền thông nhận trung bình 2 tín hiệu nhiễu mỗi phút. Giả sử số tín hiệu nhiễu nhận được tuân theo một quy luật xác suất phù hợp.

• a, Xác suất có đúng 3 tín hiệu nhiễu trong một phút?
• b, Xác suất có không quá 1 tín hiệu nhiễu trong một phút?
• c, Xác suất có ít nhất 5 tín hiệu nhiễu trong hai phút?

Bài 10 (Máy ATM bị lỗi)

Một ngân hàng có 4 máy ATM hoạt động độc lập, mỗi máy có xác suất gặp lỗi trong ngày là 0.1.

• a, Xác suất không có máy nào gặp lỗi trong một ngày?
• b, Xác suất có đúng 2 máy gặp lỗi trong một ngày?
• c, Xác suất có ít nhất 1 máy gặp lỗi trong một ngày?

Bài tập Chương III: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Bài 1 (Hàm mật độ xác suất)

Một biến ngẫu nhiên liên tục $ X $ có hàm mật độ xác suất:

\[f(x) = \begin{cases} kx^2, & 0 \leq x \leq 2 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\]

• a, Xác định hằng số $ k $.
• b, Tìm xác suất $ P(0.5 \leq X \leq 1.5) $.
• c, Xác định hàm phân bố xác suất $ F(x) $.

Bài 2 (Tính kỳ vọng, phương sai, trung vị)

Một biến ngẫu nhiên liên tục $ X $ có hàm mật độ xác suất:

\[f(x) = \begin{cases} 3(1 - x^2), & -1 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\]

• a, Tính kỳ vọng $ E[X] $ và phương sai $ D[X] $.
• b, Tìm trung vị (Median) của $ X $.
• c, Tìm mốt (Mode) của $ X $.

Bài 3 (Hàm của một biến ngẫu nhiên)

Cho biến ngẫu nhiên $ X $ có phân bố:

\[f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\]

Đặt $ Y = X^2 $.

• a, Tìm hàm mật độ xác suất của $ Y $.
• b, Tính kỳ vọng $ E[Y] $.
• c, Tính phương sai $ D[Y] $.

Bài 4 (Phân bố chuẩn và khoảng tin cậy)

Chiều cao của sinh viên trong một trường đại học tuân theo phân bố chuẩn:

\[X \sim \mathcal{N}(170, 25)\]

• a, Xác suất một sinh viên có chiều cao trong khoảng $ (165, 175) $?
• b, Chiều cao $ h $ sao cho $ P(X \leq h) = 0.95 $?
• c, Khoảng $ (a, b) $ sao cho $ P(a \leq X \leq b) = 0.99 $?

Bài 5 (Thời gian chờ xe buýt)

Một trạm xe buýt có thời gian giữa hai chuyến xe tuân theo phân bố mũ với trung bình 10 phút.

• a, Xác suất một người phải chờ nhiều hơn 15 phút?
• b, Xác suất người đó chờ ít hơn 5 phút, biết rằng đã chờ 2 phút?
• c, Tính kỳ vọng và phương sai của thời gian chờ.

Bài 6 (Phân bố đều - thời gian giao hàng)

Một công ty giao hàng cam kết thời gian giao giữa 30 và 50 phút. Giả sử thời gian giao hàng tuân theo phân bố đều.

• a, Tìm hàm mật độ xác suất của thời gian giao hàng.
• b, Xác suất thời gian giao hàng nhiều hơn 40 phút?
• c, Kỳ vọng và phương sai của thời gian giao hàng?

Bài 7 (Phân bố chuẩn - điểm thi)

Điểm thi một môn học tuân theo phân bố chuẩn:

\[X \sim \mathcal{N}(70, 16)\]

• a, Xác suất một sinh viên đạt điểm trên 80?
• b, Điểm thi thấp nhất của 10% sinh viên có điểm cao nhất?
• c, Khoảng điểm chứa 90% sinh viên?

Bài 8 (Thời gian sử dụng thiết bị)

Tuổi thọ (tính theo năm) của một thiết bị điện tử có phân bố mũ với kỳ vọng 5 năm.

• a, Xác suất thiết bị hỏng sau 7 năm?
• b, Xác suất thiết bị hỏng trong khoảng (3, 6) năm?
• c, Nếu thiết bị đã hoạt động 4 năm, xác suất nó hoạt động thêm 3 năm?

Bài 9 (Quy luật phân bố đều - sinh nhật)

Giả sử ngày sinh của một người có phân bố đều trong 365 ngày của năm.

• a, Xác suất một người sinh vào tháng 7?
• b, Xác suất một người sinh vào một trong 3 ngày cuối năm?
• c, Kỳ vọng và phương sai của ngày sinh (tính theo số thứ tự trong năm)?

Bài 10 (Tốc độ internet)

Tốc độ đường truyền internet của một hộ gia đình được mô hình hóa bằng một biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố đều trong khoảng [50, 100] Mbps.

• a, Tìm hàm mật độ xác suất.
• b, Xác suất tốc độ internet nhỏ hơn 70 Mbps?
• c, Kỳ vọng và phương sai của tốc độ internet?