Sách: Mở đầu về lí thuyết Xác suất và Các ứng dụng

Tác giả: Đặng Hùng Thắng

Mục lục

• Mục lục
• Chương III: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
• Bài 1: Hàm mật độ xác suất và hàm phân bố xác suất (tr. 78)
• Bài 2: Kì vọng, phương sai, Mod và Median. Các đặc trưng khác của ĐLNN (tr. 83)
• Bài 3: Hàm của một ĐLNN (tr. 88)
• Bài 4: Phân bố chuẩn (tr. 82)
• Bài 5: Phân bố mũ (tr. 96)
• Bài 6: Phân bố đều (tr. 98)

Block

Chương III: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Gọi ĐLNN $X$ là liên tục nếu như:

• Tập hợp các giá trị của $X$ lấp một khoảng của trục số hoặc lấy cả trục số đó.
• Với mọi số $a$, $P(X=a) = 0$.

Bài 1: Hàm mật độ xác suất và hàm phân bố xác suất (tr. 78)

Hàm mật độ xác suất

Ta chỉ quan tâm tới xác suất $X$ nhận một giá trị trong một khoảng $(a, b)$ nào đó chứ không quan tâm tới xác suất $X$ nhận một giá trị cụ thể như với ĐLNN rời rạc.

Phân bố xác suất của $X$ được xác định bởi một hàm $f(x)$ được gọi là hàm mật độ xác suất. Trong đó:

$$(i) \quad f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \\[7pt] (ii) \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \\[7pt] (iii) \quad \text{Với mọi } a < b \text{, ta có:} \\[7pt] P(a < X < b) = P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)dx$$

Block

Hàm phân bố xác suất

Hàm phân bố xác suất của $X$ được xác định với mọi số thực $x$:

$$F(x) = P(X < x)$$

Block

Hàm phân bố $F(x)$ có các tính chất:

• $0 \leq F(x) \leq 1$.
• $F(x)$ là một hàm không giảm ($x_1 < x_2 \rightarrow F(x_1) \leq F(x_2)$).
• $F(x)$ là một hàm liên tục.
• $\lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1, \quad \lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0$.
• $f(x) = F’(x)$ và $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt$.

Bài 2: Kì vọng, phương sai, Mod và Median. Các đặc trưng khác của ĐLNN (tr. 83)

Ta xét các tham số đặc trưng của một ĐLNN liên tục:

1. Kỳ vọng (Expectation) $E(X)$:

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên liên tục $X$ là giá trị trung bình lý thuyết mà ta mong đợi từ $X$.

• Với biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất $f(x)$:
  $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

Kỳ vọng giúp xác định giá trị trung tâm của phân phối.

Ví dụ: Nếu $X \sim \text{Uniform}(a, b)$, ta có:
$E(X) = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} dx = \frac{a + b}{2}.$

2. Mode (Chế độ - Giá trị xuất hiện nhiều nhất):

Mode của một phân phối xác suất là giá trị mà hàm mật độ xác suất đạt cực đại.

• Mode là điểm $x$ sao cho:
  $f(x) \geq f(y) \quad \forall y \in \mathbb{R}.$

Ví dụ: Nếu $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, thì mode chính là giá trị kỳ vọng $\mu$ vì hàm mật độ đạt cực đại tại $x = \mu$.

3. Phương sai (Variance) $\text{Var}(X)$:

Phương sai đo lường mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị kỳ vọng.

• Định nghĩa:
  $\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2]$
• Công thức triển khai: $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2.$

Nếu $\text{Var}(X)$ lớn → dữ liệu phân tán rộng.
Nếu $\text{Var}(X)$ nhỏ → dữ liệu tập trung quanh trung bình.

Ví dụ: Nếu $X \sim \text{Uniform}(a, b)$, ta có: $E(X^2) = \int_{a}^{b} x^2 \cdot \frac{1}{b-a} dx = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}.$ $\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}.$

4. Moment (Momen thống kê):

Moment giúp mô tả hình dạng phân bố xác suất.

• Moment cấp $k$ quanh gốc:
  $E(X^k)$
• Moment cấp $k$ quanh giá trị kỳ vọng:
  $E[(X - E(X))^k]$

Các moment quan trọng:

• Moment cấp 1: $E(X)$ (kỳ vọng).
• Moment cấp 2: $E[(X - E(X))^2] = \text{Var}(X)$ (phương sai).
• Moment cấp 3, 4 dùng để tính hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn.

5. Hệ số bất đối xứng (Skewness) $S$:

Hệ số bất đối xứng đo lường mức độ lệch của phân phối so với trung tâm.

• $S = 0$: Phân phối đối xứng.
• $S > 0$: Phân phối lệch phải (đuôi phải dài hơn).
• $S < 0$: Phân phối lệch trái (đuôi trái dài hơn).

Ví dụ:

• Phân phối chuẩn có skewness bằng 0.
• Phân phối chi bình phương có skewness dương.

6. Hệ số nhọn (Kurtosis) $K$:

Hệ số nhọn đo độ bẹt hay nhọn của phân phối so với phân phối chuẩn.

• $K = 3$: Phân phối chuẩn.
• $K > 3$: Phân phối nhọn hơn chuẩn (leptokurtic - có đỉnh cao và đuôi dài).
• $K < 3$: Phân phối bẹt hơn chuẩn (platykurtic - có đỉnh thấp và đuôi ngắn).

Ví dụ:

• Phân phối chuẩn có $K = 3$.
• Phân phối t-Student có kurtosis lớn hơn 3 nếu bậc tự do thấp.
• Phân phối đồng nhất có kurtosis nhỏ hơn 3 do có đỉnh phẳng.

Bài 3: Hàm của một ĐLNN (tr. 88)

(Phụ thuộc vào bài tập)

Bài 4: Phân bố chuẩn (tr. 82)

(Phụ thuộc vào bài tập)

Bài 5: Phân bố mũ (tr. 96)

(Phụ thuộc vào bài tập)

Bài 6: Phân bố đều (tr. 98)

(Phụ thuộc vào bài tập)