MAT2323 - Xác suất - Thống kê - Ôn tập (Chương 3)
Sách: Mở đầu về lí thuyết Xác suất và Các ứng dụng
Tác giả: Đặng Hùng Thắng
Mục lục
Block
Chương III: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Gọi ĐLNN là liên tục nếu như:
- Tập hợp các giá trị của lấp một khoảng của trục số hoặc lấy cả trục số đó.
- Với mọi số , .
Bài 1: Hàm mật độ xác suất và hàm phân bố xác suất (tr. 78)
Hàm mật độ xác suất
Ta chỉ quan tâm tới xác suất nhận một giá trị trong một khoảng nào đó chứ không quan tâm tới xác suất nhận một giá trị cụ thể như với ĐLNN rời rạc.
Phân bố xác suất của được xác định bởi một hàm được gọi là hàm mật độ xác suất. Trong đó:
Block
Hàm phân bố xác suất
Hàm phân bố xác suất của được xác định với mọi số thực :
Block
Hàm phân bố có các tính chất:
- .
- là một hàm không giảm ().
- là một hàm liên tục.
- .
- và .
Bài 2: Kì vọng, phương sai, Mod và Median. Các đặc trưng khác của ĐLNN (tr. 83)
Ta xét các tham số đặc trưng của một ĐLNN liên tục:
1. Kỳ vọng (Expectation) :
Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên liên tục là giá trị trung bình lý thuyết mà ta mong đợi từ .
- Với biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất :
Kỳ vọng giúp xác định giá trị trung tâm của phân phối.
Ví dụ: Nếu , ta có:
2. Mode (Chế độ - Giá trị xuất hiện nhiều nhất):
Mode của một phân phối xác suất là giá trị mà hàm mật độ xác suất đạt cực đại.
- Mode là điểm sao cho:
Ví dụ: Nếu , thì mode chính là giá trị kỳ vọng vì hàm mật độ đạt cực đại tại .
3. Phương sai (Variance) :
Phương sai đo lường mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị kỳ vọng.
- Định nghĩa:
- Công thức triển khai:
Nếu lớn → dữ liệu phân tán rộng.
Nếu nhỏ → dữ liệu tập trung quanh trung bình.
Ví dụ: Nếu , ta có:
4. Moment (Momen thống kê):
Moment giúp mô tả hình dạng phân bố xác suất.
- Moment cấp quanh gốc:
- Moment cấp quanh giá trị kỳ vọng:
Các moment quan trọng:
- Moment cấp 1: (kỳ vọng).
- Moment cấp 2: (phương sai).
- Moment cấp 3, 4 dùng để tính hệ số bất đối xứng và hệ số nhọn.
5. Hệ số bất đối xứng (Skewness) :
Hệ số bất đối xứng đo lường mức độ lệch của phân phối so với trung tâm.
- : Phân phối đối xứng.
- : Phân phối lệch phải (đuôi phải dài hơn).
- : Phân phối lệch trái (đuôi trái dài hơn).
Ví dụ:
- Phân phối chuẩn có skewness bằng 0.
- Phân phối chi bình phương có skewness dương.
6. Hệ số nhọn (Kurtosis) :
Hệ số nhọn đo độ bẹt hay nhọn của phân phối so với phân phối chuẩn.
- : Phân phối chuẩn.
- : Phân phối nhọn hơn chuẩn (leptokurtic - có đỉnh cao và đuôi dài).
- : Phân phối bẹt hơn chuẩn (platykurtic - có đỉnh thấp và đuôi ngắn).
Ví dụ:
- Phân phối chuẩn có .
- Phân phối t-Student có kurtosis lớn hơn 3 nếu bậc tự do thấp.
- Phân phối đồng nhất có kurtosis nhỏ hơn 3 do có đỉnh phẳng.
Bài 3: Hàm của một ĐLNN (tr. 88)
(Phụ thuộc vào bài tập)
Bài 4: Phân bố chuẩn (tr. 82)
(Phụ thuộc vào bài tập)
Bài 5: Phân bố mũ (tr. 96)
(Phụ thuộc vào bài tập)
Bài 6: Phân bố đều (tr. 98)
(Phụ thuộc vào bài tập)