Sách: Mở đầu về lí thuyết Xác suất và Các ứng dụng

Tác giả: Đặng Hùng Thắng

Mục lục

Chương I: Biến cố và xác suất của biến cố

Bài 1: Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu (tr. 6)

• Một phép thử ngẫu nhiên được kí hiệu $ \mathscr{C} $. Ta không thể đoán trước được kết quả của $ \mathscr{C} $.
• Tất cả các kết quả có thể xảy ra của $ \mathscr{C} $ được gọi là không gian mẫu kí hiệu $ \Omega $.
• Một phần tử của $ \Omega $ được gọi là một biến cố sơ cấp, kí hiệu $ \omega $.

Bài 2: Biến cố và mối quan hệ giữa chúng (tr. 7)

Biến cố:

Giả sử có một biến cố (hay sự kiện) $ A $ mà việc biến cố này xảy ra hay không phụ thuộc hoàn toàn vào kết quả của $ \mathscr{C} $. Ta nói kết quả $ \omega $ của $ \mathscr{C} $ thuận lợi cho biến cố $ A $ khi $ \omega $ xảy ra thì $ A $ xảy ra.

Biến cố không thể tương đương tập con $ \emptyset $ của $ \Omega $. Biến cố chắc chắn tương đương toàn bộ tập $ \Omega $.

Quan hệ giữa các biến cố:

• Kéo theo: $ A $ kéo theo $ B $ nếu $ A $ xảy ra thì $ B $ cũng xảy ra. Biểu diễn $ A \subset B $.
• Biến cố đối: $ \overline{A} $ xảy ra khi $ A $ không xảy ra. Biểu diễn $ \overline{A} = \Omega \setminus A $.

Hai biến cố gọi là xung khắc nếu $ A \cap B $ hay $ AB $ = $ \emptyset $.

Bài 3: Xác suất của một biến cố (tr. 9)

Định nghĩa xác suất cổ điển:

Xác suất của một biến cố là một số nằm trong khoảng $ [0, 1] $. Xác suất của biến cố $ A $ được kí hiệu $ P(A) $. Ta có định nghĩa xác suất cổ điển:

Định nghĩa trên dựa trên 2 giả thiết:

• Các kết quả có thể là hữu hạn;
• Các kết quả có thể là đồng khả năng.

Định nghĩa xác suất bằng tần suất:

Trên thực tế $ P(A) $ thường được tính xấp xỉ bới tần suất $ f_n(A) $ với $ n $ đủ lớn:

Trong đó, giả sử trong $ n $ phép thử $ \mathscr{C} $ mà biến cố $ A $ xuất hiện $ k(A) $ lần thì:

Định nghĩa này chỉ áp dụng khi các phép thử có thể lặp lại độc lập trên điều kiện giống hệt nhau. Việc thực hiện số phép thử đủ lớn thường không khả thi.

Ngoài ra bạn có thể tham khảo định nghĩa xác suất của Andrey Kolmogorov.

Bài 4: Các quy tắc tính xác suất (tr. 17)

Quy tắc cộng xác suất:

Nếu $ A $ và $ B $ xung khắc:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

Tổng quát:

\[P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n) = P(A_1) + \ldots + P(A_n)\]

Quy tắc cộng xác suất tổng quát:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\]

Mở rộng:

\[P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B \cup C) - P(A (B \cup C)) \\ = P(A) + P(B) + P(C) - P(BC) - P(AB \cup AC) \\ = P(A) + P(B) + P(C) - P(BC) - P(AB) - P(AC) + P(ABC)\]

Quy tắc biến cố đối:

Bài 5: Phép thử lặp và công thức Bernoulli (tr. 23)

Công thức Bernoulli:

Gọi $ P_k(n, p) $ là xác suất sao cho trong một dãy $n$ phép thử độc lập, biến cố $ A $ xuất hiện đúng $ k $ lần. Ta kí hiệu:

\[P_k (n, p) = C^k_n \space (P(A))^k \space (P(\overline{A}))^{n-k}\]

Bài 6: Xác suất có điều kiện - Quy tắc nhân tổng quát (tr. 25)

Xác suất có điều kiện:

Kí hiệu $ P(B \mid A) $ thể hiệu xác suất $ B $ xảy ra với điều kiện $ A $ đã xảy ra. Ta có:

Quy tắc nhân tổng quát:

Bài 7: Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes (tr. 29)

Công thức xác suất đầy đủ:

Giả sử có các biến cố $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ đôi một xung khắc với nhau và:

\[\Omega = B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_n\]

$ B_1, B_2, \ldots, B_n $ được gọi là một hệ đầy đủ. Ta có công thức:

\[P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \space P(A \mid B_i)\]

Công thức Bayes:

\[P(B_k \mid A) = \frac{P(B_k) \space P(A \mid B_k)}{\sum_{i=1}^n P(B_i) \space P(A \mid B_i)}\]

Rút gọn:

\[P(H \mid E) = \frac{P(H) P(E \mid H)}{P(E)}\]