Mục lục

• Mục lục
• Đề 1: 2024-2025-GD
• (1) Câu 1
• (1) Câu 2
• (1) Câu 3
• (1) Câu 4
• Đề 2: 2024-2025-KHTN
• (2) Câu 1
• (2) Câu 2
• (2) Câu 3
• (2) Câu 4
• Đề 3: 2022-2023-KHTN-1
• (3) Câu 1
• (3) Câu 2
• (3) Câu 3
• (3) Câu 4
• (3) Câu 5
• Đề 4: 2022-2023-KHTN-2
• (4) Câu 1
• (4) Câu 2
• (4) Câu 3
• (4) Câu 4
• Đề 5: 2022-2023-KHTN-3
• (5) Câu 1
• (5) Câu 2
• (5) Câu 3
• (5) Câu 4

Block

Đề 1: 2024-2025-GD

• Mã HP: MAT2314

• Tgian làm bài: 90 phút (không kể thời gian chép đề)

(1) Câu 1

Giải phương trình vi phân

$$(x^{2}+2xy+y^{2})\frac{dy}{dx}+xy+2y^{2}=0$$

Block

(1) Câu 2

Giải phương trình

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-5\frac{dy}{dx}+6y=e^{x}+2x$$

Block

dùng: (i) phương pháp hệ số bất định; và (ii) phương pháp phép biến thiên hằng số

(1) Câu 3

Giải hệ vi phân $u^{\prime}=Au$ với

$$A= \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{array} \right)$$

Block

Cho $u(0)=(1,1,2)$

(1) Câu 4

Trong một mô hình dịch bệnh, một cá nhân nhiễm được đưa vào một cộng đồng có chứa $n$ cá nhân. Gọi $y(t)$ là số người không bị nhiễm bệnh trong cộng đồng tại thời điểm $t$. Giả sử răng không có ai miễn dịch thì $y(t)$ sẽ giảm từ giá trị ban đầu $y(0)=n$ tới 0. Phương trình mô tả hiện tượng truyền nhiễm được cho bởi

$$y^{\prime}=-ry(n+1-y)$$

Block

trong đó r là một hằng số dương đo tốc độ truyền nhiễm.

• i. Xác định nghiệm của phương trình,

• ii. khi nào thì tốc độ truyền nhiễm là tối đa?

Đề 2: 2024-2025-KHTN

• Mã HP: MAT2403-3

• Tgian làm bài: 90 phút (không kể thời gian chép đề)

(2) Câu 1

Giải phương trình vi phân

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{xy^{2}+ye^{xy}-y \sin~x+x^{2}}{x^{2}y+xe^{xy}+ \cos~x+y+1}$$

Block

(2) Câu 2

Giải phương trình

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+4\frac{dy}{dx}+4y=e^{-2x}+x; \quad y(0) = y^\prime (0) = 1$$

Block

dùng:

• phương pháp hệ số bất định;

• phương pháp phép biến thiên hằng số.

(Lưu ý: Trong đề bài có dữ kiện $y(0)=y^{\prime}(0)=1$ xuất hiện sau ma trận ở câu 3, nhưng về mặt toán học thường thuộc về bài toán Cauchy của phương trình cấp 2 ở câu này ).

(2) Câu 3

Giải hệ vi phân $u^{\prime}=Au$ với

$$A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 \end{array} \right)$$

Block

Cho $u(0)=(1,1,2)$

(2) Câu 4

Chứng minh rằng tỉ số giữa hai nghiệm độc lập tuyến tính bất kì của phương trình

$$y^{\prime\prime}+a_{1}(x)y^{\prime}+a_{0}(x)y=0$$

Block

(với hệ số liên tục) không thể có điểm cực đại địa phương.

Đề 3: 2022-2023-KHTN-1

• Mã HP: MAT2403

• Tgian làm bài: 90 phút (không kể thời gian chép đề)

(3) Câu 1

Giải phương trình vi phân

$$\frac{dy}{dx}=2y(3-y)$$

Block

• i. như phương trình tách biến; ii. như phương trình Bernouilli.

Vẽ sơ lược đồ thị các nghiệm.

(3) Câu 2

Chuyển hệ sau về phương trình vi phân cấp hai rồi dùng phương pháp hệ số bất định để giải

$$\begin{cases} x^{\prime}=-4x-6y+6e^{2t} \\ y^{\prime}=x+y+3e^{2t} \end{cases}$$

Block

(3) Câu 3

Dùng phương pháp phép biến đổi Laplace, tìm nghiệm của bài toán Cauchy

$$x^{\prime\prime}+100~x=19~cos(9t)$$

Block

Cho $x(0)=x^{\prime}(0)=0.$

(3) Câu 4

Giải hệ vi phân $u^{\prime}=Au$ với

$$A= \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -3 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} \right)$$

Block

(3) Câu 5

Thả một vật có khối lượng 3 kg từ độ cao $h=2$ m. Tính thời gian vật chạm đất. Cho gia tốc trọng trường là $g=9,80665~m/s^{2}$

Đề 4: 2022-2023-KHTN-2

• Mã HP: MAT2314

• Tgian làm bài: 90 phút (không kể thời gian chép đề)

(4) Câu 1

Giải phương trình vi phân

$$(x^{2}+2y)\frac{dy}{dx}+2xy+1=0$$

Block

(4) Câu 2

Giải phương trình

$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=x^{2}e^{-2x}$$

Block

dùng: (i) phương pháp hệ số bất định; và (ii) phương pháp phép biến đổi Laplace.

(4) Câu 3

Giải hệ vi phân $u^{\prime}=Au$ với

$$A= \left( \begin{array}{ccc} -3 & -1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \end{array} \right)$$

Block

(4) Câu 4

Một học sinh ném một quả tạ có khối lượng $m=5~kg$ từ độ cao $h=1.5~m$ với vận tốc ném $v=13.6~m/s$ và với góc $\theta=40^{\circ}$ so với phương ngang. Tính thời gian tạ chạm đất và tầm xa của cú ném. Cho gia tốc trọng trường là $g=9.80~m/s^{2}$.

Đề 5: 2022-2023-KHTN-3

• Mã HP: MAT1259 TNS

• Tgian làm bài: 90 phút (không kể thời gian chép đề)

(5) Câu 1

Giải phương trình vi phân

$$2x \sin~y dx+(x^{2} \cos~y-1)dy=0$$

Block

biết điều kiện ban đầu $y(0)=1/2$

(5) Câu 2

Tìm nghiệm của bài toán Cauchy

$$y^{\prime\prime}+6y^{\prime}+13y=2e^{-2t} \sin~t$$

Block

Cho $y(0)=y^{\prime}(0)=0$

dùng: (i) phương pháp hệ số bất định; hoặc (ii) phương pháp phép biến đổi Laplace.

(5) Câu 3

Cho hệ vi phân

$$x^{\prime}=y, \quad y^{\prime}=z, \quad z^{\prime}=x$$

Block

• (i) Giải hệ dùng phương pháp thế.

• (ii) Giải hệ dùng Định lý cơ bản hoặc dùng cách tính ma trận mũ.

• (iii) Chỉ ra rằng với mọi nghiệm $(x, y, z)$ của hệ thì

$$e^{-t}(x+y+z)$$

Block

là hằng số.

(5) Câu 4

Một sinh viên ném một viên đá có khối lượng m từ độ cao h với vận tốc ném $v,$ và với góc ném $\theta>0$ so với phương ngang. Bỏ qua sức cản của không khí.

Tính độ cao cực đại $h_{max}$ của viên đá.

Cố định các giá trị $m, h, v$, hỏi cần chọn góc ném như thế nào để $h_{max}$ lớn nhất.